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正切二倍角怎么求 公式步骤
- 编辑：董亚蓓
- 2026-10-12 16:08:43
- 来源：网易
求正切二倍角，核心方法是先求 tanα，再代入二倍角公式：tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)。当题目直接给出 tanα，可以直接求；当给出 sinα、cosα，可先用 tanα = sinα/cosα 转换；当给出 α 的具体角度，可先求 2α，再求这个角度的正切值。这样能把正切二倍角计算变成已知量代入，方法清晰，步骤固定。
公式由来
二倍角可看作两个相同角相加。
从两角和正切公式出发：
tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)
把 β 换成 α：
tan(α + α) = (tanα + tanα)/(1 - tanαtanα)
得到：
tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)
计算步骤
- 看清已知量：看题目给出的是 tanα、sinα、cosα，还是具体角度。
- 先求 tanα：如果给 sinα、cosα，可用 tanα = sinα/cosα。
- 代入公式：把 tanα 代入 tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)。
- 化简结果：约分、合并、保留分数或根号形式。
- 核对角度：如果给的是具体度数，可直接求 tan(2α)。
条件对应表
| 已知条件 | 先求 | 再求 |
|---|---|---|
| 直接给出 tanα | 无 | 代入正切二倍角公式 |
| 给出 sinα、cosα | tanα = sinα/cosα | 代入正切二倍角公式 |
| 给出具体角度 α | 2α | 求 tan(2α) |
| 给出 tanα 且要判断符号 | 确定 α 所在范围 | 确定 2α 的范围与正切值符号 |
示例一
若 tanα = 3/4，求正切二倍角。
步骤：
tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)
= 2 × (3/4) / [1 - (3/4)²]
= (3/2) / (1 - 9/16)
= (3/2) / (7/16)
= (3/2) × (16/7)
= 24/7
结论：tan2α = 24/7。
示例二
若 α = 30°，求正切二倍角。
步骤：
2α = 2 × 30° = 60°
tan2α = tan60° = √3
结论：tan2α = √3。
特殊形式说明
当使用 tan2α = 2tanα/(1 - tan²α) 时，分母对应 1 - tan²α。遇到分母为 0 的情况，可结合 2α 的角度含义处理，例如 2α 为 90° 的整数倍时，正切值对应角度的定义需要结合题目给出的角度范围判断。若题目给 sinα、cosα，也可用 sin2α/cos2α 的形式继续化简。
补充公式
二倍角正弦：
sin2α = 2sinαcosα
二倍角余弦：
cos2α = cos²α - sin²α
也可写成：
cos2α = 2cos²α - 1
或：
cos2α = 1 - 2sin²α
由 sin2α/cos2α 也能得到：
tan2α = sin2α/cos2α
【常见问题】
问：正切二倍角怎么求？
答：正切二倍角怎么求，可按“先求 tanα，再代入公式 tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)”完成。
问：正切二倍角公式怎么记？
答：正切二倍角公式可记作“2倍tanα，除以1减tanα的平方”，即 tan2α = 2tanα/(1 - tan²α)。
问：已知 sinα 和 cosα 怎么求正切二倍角？
答：求正切二倍角可先求 tanα = sinα/cosα，再代入正切二倍角公式得到结果。
问：角度是具体度数怎么求正切二倍角？
答：求正切二倍角可先把角度乘2，再求这个新角度的正切值，例如 α = 30° 时，正切二倍角为 tan60° = √3。
问：正切二倍角还能用 sin2α 和 cos2α 求吗？
答：可以，正切二倍角也可用 tan2α = sin2α/cos2α 来求，适合题目已经给出二倍角正弦或余弦的情况。
免责声明：以上内容用于数学学习参考，具体表达与答题写法请以课本定义、老师讲解和考试要求为准。