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求二项式展开式中的常数项
- 编辑：都琛健
- 2025-09-22 10:32:34
- 来源：网易
【求二项式展开式中的常数项】在数学中，二项式展开是代数学习的重要内容之一。常见的二项式形式为 $(a + b)^n$，其中 $n$ 是一个正整数。在展开过程中，每一项的形式为 $\binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。当我们需要寻找展开式中的常数项时，实际上是在寻找那些不含变量的项，即所有变量的指数均为零的项。
一、常数项的定义
在二项式展开式中，常数项是指展开后不含有任何变量（如 $x$、$y$ 等）的项。换句话说，就是该项中所有变量的指数都为零。
例如，在 $(x + 2)^5$ 的展开式中，若某一项为 $C \cdot x^0 = C$，则该项为常数项。
二、求解步骤
1. 确定展开式的一般项：
对于 $(a + b)^n$，其第 $k+1$ 项为：
$$
T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
2. 设定变量的指数为零：
如果 $a$ 或 $b$ 中包含变量（如 $x$），我们需要让该变量的指数为零。
3. 解方程求出符合条件的 $k$ 值：
通过设定变量的指数为零，解出对应的 $k$ 值。
4. 代入计算常数项：
将符合条件的 $k$ 值代入一般项公式，计算出具体的常数项。
三、示例分析
以 $(x + 2)^5$ 为例，求其中的常数项：
- 一般项为：
$$
T_{k+1} = \binom{5}{k} x^{5-k} \cdot 2^k
$$
- 要使该项为常数项，必须满足 $x^{5-k} = x^0$，即 $5 - k = 0$，解得 $k = 5$
- 代入计算：
$$
T_6 = \binom{5}{5} \cdot x^0 \cdot 2^5 = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32
$$
因此，$(x + 2)^5$ 的常数项为 32。
四、总结与表格展示
| 题目 | 二项式表达式 | 求常数项 | 计算过程 | 结果 |
| 示例1 | $(x + 2)^5$ | 有常数项 | $k=5$，$\binom{5}{5} \cdot 2^5 = 32$ | 32 |
| 示例2 | $(2x + 1)^4$ | 有常数项 | $k=4$，$\binom{4}{4} \cdot (2x)^0 \cdot 1^4 = 1$ | 1 |
| 示例3 | $(x^2 + \frac{1}{x})^6$ | 有常数项 | $2(6 - k) - k = 0 \Rightarrow k = 4$，$\binom{6}{4} \cdot x^0 = 15$ | 15 |
| 示例4 | $(3x - \frac{1}{x})^7$ | 有常数项 | $k = 7/2$（无整数解）→ 无常数项 | 无 |
五、注意事项
- 并非所有的二项式展开式都有常数项，这取决于变量的幂次是否能够被消去。
- 若展开式中含有多个变量，需分别考虑各变量的指数是否为零。
- 常数项的计算通常涉及组合数和指数运算，需仔细检查每一步。
通过上述方法，我们可以系统地找到二项式展开中的常数项，帮助我们在实际问题中更准确地分析和解决问题。