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【幂级数收敛半径定义】在数学分析中，幂级数是研究函数展开和逼近的重要工具。一个常见的问题是如何判断一个幂级数在其定义域内的收敛性。其中，“收敛半径”是一个关键概念，它决定了幂级数在哪些点上收敛，在哪些点上发散。

一、什么是幂级数？

幂级数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中，$ a_n $ 是系数，$ x_0 $ 是中心点，$ x $ 是变量。

二、收敛半径的定义

对于任意一个幂级数，存在一个非负实数 $ R $，称为收敛半径，使得：

- 当 $ x - x_0 < R $ 时，幂级数绝对收敛；

- 当 $ x - x_0 > R $ 时，幂级数发散；

- 当 $ x - x_0 = R $ 时，幂级数可能收敛也可能发散，需具体分析。

三、如何计算收敛半径？

常用的两种方法：

1. 比值法（D'Alembert 法则）：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right

$$

2. 根值法（Cauchy 法则）：

$$

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}}

$$

四、总结与对比

五、举例说明

考虑幂级数：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n}

$$

使用比值法计算收敛半径：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1

$$

因此，收敛半径为 $ R = 1 $，收敛区间为 $ (0, 2) $。端点 $ x = 0 $ 和 $ x = 2 $ 需要分别检验。

六、结论

幂级数的收敛半径是理解其收敛范围的关键指标。通过合理的计算方法，可以确定收敛区间，并进一步分析端点处的收敛性。掌握这一概念有助于深入理解函数的解析性质及级数的应用。