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【三阶行列式的计算】在数学中，行列式是一个重要的概念，尤其在矩阵运算和线性代数中应用广泛。三阶行列式是3×3矩阵的行列式，其计算方法相对固定，但需要一定的技巧和步骤。本文将对三阶行列式的计算方式进行总结，并通过表格形式展示关键内容。

一、三阶行列式的定义

设有一个3×3的矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

$$

则该矩阵的行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $，其计算公式为：

$$

A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

$$

也可以用“对角线法”或“展开法”来计算。

二、三阶行列式的计算方法

方法一：按行（或列）展开法

这是最常用的方法，以第一行为例进行展开：

$$

A = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13}

$$

其中 $ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后剩下的 2×2 矩阵的行列式。

方法二：对角线法（Sarrus法则）

适用于三阶行列式，具体步骤如下：

1. 将原矩阵的前两列复制到右侧，形成一个 3×5 的矩阵。

2. 从左上到右下画三条对角线，相乘并求和。

3. 从右上到左下画三条对角线，相乘并求和。

4. 用第一条的和减去第二条的和。

例如：

$$

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}

\Rightarrow

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}

\end{bmatrix}

$$

计算方式为：

$$

(a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

$$

三、常见计算步骤总结

步骤	内容
1	确定矩阵的结构，明确各元素位置
2	选择展开行或列（通常选含0较多的行或列）
3	按照展开公式计算每个余子式
4	计算所有项的乘积并带符号相加
5	验证结果是否正确（可使用对角线法或计算器辅助）

四、示例计算

假设矩阵为：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

$$

使用展开法计算：

$$

A = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)

$$

$$

= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)

$$

$$

= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)

$$

$$

= -3 + 12 - 9 = 0

$$

因此，该三阶行列式的值为 0。

五、总结

三阶行列式的计算虽然步骤较多，但只要掌握基本方法，就能快速准确地完成。建议初学者多练习不同的展开方式，提高熟练度。同时，注意符号的正负变化，避免计算错误。

项目	内容
定义	3×3矩阵的行列式
公式	展开法或对角线法
特点	可用于解线性方程组、判断矩阵可逆等
常见错误	符号错误、余子式计算错误
应用	线性代数、几何变换、物理学等

如需进一步了解二阶行列式或更高阶行列式的计算方法，欢迎继续学习。