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【韦达定理公式推导过程】韦达定理是代数学中一个重要的定理，主要用于一元二次方程与根之间的关系。它由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）提出，因此得名。该定理揭示了二次方程的系数与其根之间的数量关系，为求解和分析二次方程提供了便利。

一、基本概念

对于一元二次方程的一般形式：

$$

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$$

设其两个实数根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据韦达定理，有以下两个关系式：

- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $

- 根的积：$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $

二、推导过程

1. 从求根公式出发

一元二次方程的求根公式为：

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

设两个根分别为：

$$

x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

2. 计算根的和

$$

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

$$

= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

$$

= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

$$

3. 计算根的积

$$

x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)

$$

使用乘法公式 $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $，可得：

$$

= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2}

$$

$$

= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

$$

三、总结

通过上述推导可以看出，韦达定理是基于二次方程的求根公式的代数运算得出的结论。它不仅在理论上有重要意义，也在实际问题中广泛应用，如求根、构造方程、判断根的性质等。

四、表格总结

通过以上内容，我们可以清晰地理解韦达定理的来源及其在代数中的重要性。掌握这一原理有助于更深入地理解二次方程的结构与性质。