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【求arctanx的麦克劳林展开式求详细过程】在数学分析中，麦克劳林展开式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例。对于函数 $ \arctan x $，我们可以利用已知的导数公式和幂级数展开方法，推导出其麦克劳林展开式。下面将详细介绍这一过程，并以表格形式总结关键步骤。

一、基本概念

麦克劳林展开式：一个函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开，形式为：

$$

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

$$

$ \arctan x $ 的定义域：$ x \in (-1, 1) $

二、推导过程

1. 求导法（先对 $ \arctan x $ 求导）

我们知道：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

接下来我们对 $ \frac{1}{1 + x^2} $ 进行展开。

2. 展开 $ \frac{1}{1 + x^2} $ 为幂级数

考虑几何级数公式：

$$

\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \quad \text{当 } r < 1

$$

令 $ r = -x^2 $，则有：

$$

\frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \quad \text{当 } x < 1

$$

3. 对 $ \frac{1}{1 + x^2} $ 积分得到 $ \arctan x $

由于：

$$

\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} dt

$$

代入展开式：

$$

\arctan x = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} dt

$$

计算积分：

$$

\int_0^x t^{2n} dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

$$

因此，

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

$$

三、总结与表格展示

四、常见项举例

五、结论

通过逐项积分的方式，我们得到了 $ \arctan x $ 的麦克劳林展开式为：

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

$$

该级数在 $ x < 1 $ 范围内成立，且在 $ x = \pm 1 $ 处也收敛（但需使用其他方法验证）。这是计算 $ \arctan x $ 值的一种常用方法，尤其在数值计算中具有重要意义。