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三角函数的公式有哪些
- 编辑：尹绿希
- 2025-09-26 22:27:15
- 来源：网易
【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了方便计算和应用，人们总结了许多常用的三角函数公式。以下是对常见三角函数公式的系统性整理。
一、基本定义公式
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ | 直角三角形中，对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$ | 正切的倒数 |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | 余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式（角度转换）
这些公式用于将任意角度转换为锐角范围内的三角函数值，便于计算。
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 对称于π/2 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 对称于π/2 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 在第三象限 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 在第三象限 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 在第四象限 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 在第四象限 |
三、和差角公式
用于计算两个角度的和或差的三角函数值。
| 公式 | 说明 |
| $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$ | 和差角正弦公式 |
| $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$ | 和差角余弦公式 |
| $\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$ | 和差角正切公式 |
四、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 二倍角正弦公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 二倍角余弦公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 二倍角正切公式 |
| $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ | 三倍角正弦公式 |
| $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ | 三倍角余弦公式 |
五、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转化为和差形式，或反之。
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 和差化积 |
六、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 恒等式 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 恒等式 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 定义关系 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 定义关系 |
通过以上分类整理，我们可以更清晰地了解三角函数的基本公式及其应用场景。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，还能在实际生活中进行各种角度和距离的计算。
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