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【偶函数加偶函数是偶函数吗】在数学中，函数的奇偶性是一个重要的性质，尤其在分析函数行为和对称性时具有重要意义。当我们讨论“偶函数加偶函数是否还是偶函数”这一问题时，可以通过理论推导与实例验证来得出结论。

一、概念回顾

偶函数的定义是：对于所有定义域内的 $ x $，满足

$$

f(-x) = f(x)

$$

例如：$ f(x) = x^2 $、$ f(x) = \cos(x) $ 等都是典型的偶函数。

奇函数则满足：

$$

f(-x) = -f(x)

$$

如 $ f(x) = x $、$ f(x) = \sin(x) $ 等。

二、问题分析

假设我们有两个偶函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，它们的和为

$$

h(x) = f(x) + g(x)

$$

我们想知道这个和函数 $ h(x) $ 是否仍然是偶函数。

根据偶函数的定义，我们计算 $ h(-x) $：

$$

h(-x) = f(-x) + g(-x)

$$

由于 $ f $ 和 $ g $ 都是偶函数，所以有

$$

f(-x) = f(x), \quad g(-x) = g(x)

$$

因此：

$$

h(-x) = f(x) + g(x) = h(x)

$$

由此可知，两个偶函数的和仍然是偶函数。

三、总结与表格对比

四、实例验证

- 设 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = \cos(x) $，均为偶函数

则 $ h(x) = x^2 + \cos(x) $，显然 $ h(-x) = (-x)^2 + \cos(-x) = x^2 + \cos(x) = h(x) $，是偶函数。

- 若 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = x $，其中 $ f $ 是偶函数，$ g $ 是奇函数

则 $ h(x) = x^2 + x $，此时 $ h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x \neq h(x) $，也不是奇函数，即非奇非偶。

五、结论

通过理论推导和实例验证可以明确：

偶函数加偶函数仍然是偶函数。这是偶函数的一个重要性质，在数学分析、信号处理等领域有广泛应用。