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如何求方差
- 编辑：景娴厚
- 2025-09-25 00:41:22
- 来源：网易
【如何求方差】在统计学中，方差是一个非常重要的概念，用于衡量一组数据的离散程度。简单来说，方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据越集中。本文将介绍如何计算方差，并通过表格形式总结关键步骤和公式。
一、什么是方差？
方差（Variance）是描述一组数据与其平均值之间差异程度的统计量。它可以通过计算每个数据点与平均值的差的平方的平均值得到。
二、方差的计算方法
1. 总体方差（Population Variance）
当数据集包含所有观察值时，使用总体方差公式：
$$
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
$$
- $\sigma^2$：总体方差
- $N$：数据个数
- $x_i$：第 $i$ 个数据点
- $\mu$：总体平均值
2. 样本方差（Sample Variance）
当数据只是总体的一个样本时，使用样本方差公式，以得到无偏估计：
$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
- $s^2$：样本方差
- $n$：样本容量
- $x_i$：第 $i$ 个样本数据
- $\bar{x}$：样本平均值
三、计算步骤总结
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 计算平均值 | 先求出所有数据的平均值 $\mu$ 或 $\bar{x}$ |
| 2 | 求每个数据与平均值的差 | 对每个数据点 $x_i$，计算 $x_i - \mu$ 或 $x_i - \bar{x}$ |
| 3 | 平方差值 | 将每个差值平方，得到 $(x_i - \mu)^2$ 或 $(x_i - \bar{x})^2$ |
| 4 | 求平方差的总和 | 累加所有平方差值 |
| 5 | 除以相应的数量 | 总体方差除以 $N$，样本方差除以 $n-1$ |
四、示例计算
假设有一组数据：2, 4, 6, 8
1. 计算平均值：
$$
\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5
$$
2. 计算每个数据与平均值的差：
- $2 - 5 = -3$
- $4 - 5 = -1$
- $6 - 5 = 1$
- $8 - 5 = 3$
3. 平方差：
- $(-3)^2 = 9$
- $(-1)^2 = 1$
- $1^2 = 1$
- $3^2 = 9$
4. 平方差总和：
$$
9 + 1 + 1 + 9 = 20
$$
5. 计算样本方差：
$$
s^2 = \frac{20}{4 - 1} = \frac{20}{3} \approx 6.67
$$
五、总结
方差是衡量数据波动性的重要指标，理解其计算方式有助于更好地分析数据特征。无论是总体还是样本，计算过程都包括求平均值、计算偏差、平方偏差以及最终的求和与除法。通过上述步骤和表格，可以清晰地掌握如何求方差。
如需进一步了解标准差、协方差等统计概念，可继续深入学习相关知识。