您现在的位置是：首页 > 知识问答网站首页知识问答

【奇函数偶函数加减乘除后的奇偶性是什么】在数学中，奇函数和偶函数是两种重要的函数类型，它们具有对称性特征。了解它们在加、减、乘、除运算后的新函数的奇偶性，有助于我们更深入地理解函数的性质。

本文将总结奇函数与偶函数在四则运算后的奇偶性规律，并以表格形式清晰展示结果。

一、基本概念回顾

- 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $ 的函数，其图像关于 y 轴对称。

- 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $ 的函数，其图像关于原点对称。

二、加减乘除后的奇偶性分析

三、详细说明

1. 奇函数 + 奇函数：

设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是奇函数，则 $ f(-x) = -f(x) $，$ g(-x) = -g(x) $。

则 $ (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) $，所以为奇函数。

2. 奇函数 + 偶函数：

若 $ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是偶函数，则 $ (f+g)(-x) = -f(x) + g(x) $，不等于 $ f(x)+g(x) $ 或 $ -[f(x)+g(x)] $，因此是非奇非偶函数。

3. 偶函数 + 偶函数：

若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是偶函数，则 $ (f+g)(-x) = f(x) + g(x) $，所以为偶函数。

4. 奇函数 × 奇函数：

$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) $，所以为偶函数。

5. 奇函数 × 偶函数：

$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))g(x) = -f(x)g(x) $，所以为奇函数。

6. 偶函数 × 偶函数：

$ (fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) $，所以为偶函数。

7. 奇函数 ÷ 偶函数：

若定义域内无零点，则 $ \frac{f}{g}(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} $，所以为奇函数。

8. 偶函数 ÷ 偶函数：

$ \frac{f}{g}(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{g(x)} $，所以为偶函数。

四、注意事项

- 上述结论仅在定义域对称且运算合法的前提下成立。

- 当涉及除法时，需确保分母在定义域内不为零。

- 某些特殊情况下，如函数恒为零，可能同时满足奇偶函数的定义，但通常仍按最简分类处理。

通过以上分析可以看出，奇函数与偶函数在四则运算后的奇偶性具有一定的规律性，掌握这些规律有助于我们在实际问题中快速判断函数的对称性质。