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圆的标准式在知道圆心的情况下半径怎么求
- 编辑：支芸航
- 2025-10-29 23:31:53
- 来源：网易
【圆的标准式在知道圆心的情况下半径怎么求】在学习解析几何的过程中，圆的标准方程是一个重要的知识点。圆的标准式为：
(x - a)² + (y - b)² = r²
其中，(a, b) 是圆心坐标，r 是圆的半径。
当已知圆心时，如何求出半径？这通常需要结合其他条件进行判断。以下是几种常见情况及其对应的求解方法。
一、
1. 已知圆上一点：如果知道圆上某一点的坐标，可以将该点代入标准方程，通过计算得到半径。
2. 已知直径两端点：若知道直径的两个端点坐标，则可以通过两点间距离公式求出直径长度，再除以2得到半径。
3. 已知圆的方程形式：若给出的是圆的一般式方程（如 x² + y² + Dx + Ey + F = 0），则可通过配方转换为标准式，从而得出圆心和半径。
4. 已知圆心与直线的距离：如果圆与某条直线相切，且已知圆心，则可以通过点到直线的距离公式求得半径。
二、表格展示不同情况下的求半径方法
| 已知条件 | 求半径的方法 | 公式/步骤 | ||
| 圆上一点 P(x₁, y₁) | 将点代入标准方程 | $ r = \sqrt{(x₁ - a)^2 + (y₁ - b)^2} $ | ||
| 直径两端点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) | 计算两点间距离，再除以2 | $ d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2},\quad r = \frac{d}{2} $ | ||
| 圆的一般式方程 | 配方转化为标准式 | $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \Rightarrow (x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} $，其中 $ a = -\frac{D}{2},\ b = -\frac{E}{2},\ r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2} $ | ||
| 圆心与直线相切 | 点到直线距离即为半径 | 若直线为 Ax + By + C = 0，则 $ r = \frac{ | Aa + Bb + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ |
三、小结
在已知圆心的情况下，求半径的关键在于获取额外信息，例如圆上的点、直径端点、一般式方程或与直线的关系。不同的条件对应不同的求解方式，掌握这些方法有助于更灵活地应用圆的标准方程解决实际问题。
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