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求 ∫xlnxdx，使用分部积分法，最终结果是 21​x2lnx−41​x2+C，定义域要求 x>0，这是高数不定积分高频考题，分部积分公式 ∫udv=uv−∫vdu，核心就是正确选定 u 和 dv，很多同学选错 u 导致积分变得更加复杂。

核心知识点对照表

项目	内容
积分式子	∫xlnxdx
方法	分部积分法
分部积分公式	∫udv=uv−∫vdu
选取 u	u=lnx
选取 dv	dv=xdx
最终结果	21​x2lnx−41​x2+C
定义域	x>0

详细计算步骤

第一步，选定 u=lnx，dv=xdx

第二步，求 du 和 v

du=x1​dx

v=∫xdx=21​x2

第三步，代入分部积分公式

∫xlnxdx=uv−∫vdu=21​x2lnx−∫21​x2⋅x1​dx

第四步，化简里面的积分

∫21​x2⋅x1​dx=∫21​xdx=41​x2

第五步，加上积分常数 C

∫xlnxdx=21​x2lnx−41​x2+C

重点说明

为什么 u 要选lnx？

分部积分优先原则，对数函数放在 u，因为lnx求导之后变成x1​，可以消掉对数，简化积分；如果反过来设u=x，dv=lnxdx，还需要额外记住∫lnxdx公式，计算更麻烦。

验证方法：对结果求导

(21​x2lnx−41​x2+C)′=21​⋅2xlnx+21​x2⋅x1​−21​x=xlnx+21​x−21​x=xlnx

求导之后还原被积函数，证明积分结果正确。

【常见问题】

问题 1：∫xlnxdx为什么要用分部积分？

回答 1：被积函数是幂函数 x 乘以对数 lnx，属于典型两类不同函数相乘，这类积分标准解法就是分部积分，∫xlnxdx不能直接套基本积分公式。

问题 2：∫xlnxdx的 C 能不能省略？

回答 2：不定积分必须加上任意常数 C，∫xlnxdx如果漏掉 C 就是错误答案，C 代表一族原函数。

问题 3：∫xlnxdx定义域为什么是 x 大于 0？

回答 3：因为里面含有 lnx，自然对数真数要求大于 0，所以∫xlnxdx积分区间必须满足 x>0。

问题 4：如果题目是∫lnxdx结果是什么？

回答 4：∫lnxdx=xlnx−x+C，这个公式经常和∫xlnxdx放在一起对比记忆，同样是分部积分求解。

【免责申明】

本文内容依据高等数学主流教材不定积分知识点整理，仅作为备考学习参考。