您现在的位置是：首页 > 常识问答网站首页常识问答

n 阶矩阵 A 的 n 次方，记作 Aⁿ，含义是矩阵 A 连续自乘 n 次，也就是 A×A×A…… 一共 n 个 A 相乘，这里要特别区分，矩阵阶数是 n，幂次也是 n，也就是 A 是 n 阶方阵，求 A 的 n 次幂，矩阵幂没有像数字那样通用的万能化简公式，不同矩阵要用不同技巧求解，考研线性代数最常用四类方法，对角化法 二项式分解法 秩 1 矩阵公式 数学归纳法，很多初学者误以为存在一个固定统一通项公式，其实并不是，只有特殊结构矩阵才有简洁通项，普通满秩矩阵一般依靠相似对角化计算，矩阵乘法不满足交换律，所以不能随便套用实数的幂运算展开，这是最容易出错的地方。

基础定义

A 为 n 阶方阵

A¹ = A

A² = A・A

Aⁿ = Aⁿ⁻¹・A

性质 Aᵏ Aˡ = Aᵏ⁺ˡ ， (Aᵏ)ˡ = Aᵏˡ

注意 AB≠BA，所以一般 (A+B)ⁿ 不能直接像实数二项式展开，只有 A 和 B 可交换的时候才可以

四大核心解法

方法 1 相似对角化（最主流）

如果 n 阶矩阵 A 可以对角化，存在可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = Λ，Λ 是对角矩阵，对角元就是特征值

那么

Aⁿ = P Λⁿ P⁻¹

Λⁿ 就是对角线上每个特征值单独 n 次方，这个是考试最高频解法

适用条件 A 有 n 个线性无关特征向量，实对称矩阵一定可以对角化

方法 2 秩 1 矩阵公式（重点）

如果 n 阶矩阵 A 的秩等于 1，也就是 A=αβᵀ，α 和 β 都是 n 维列向量

那么

Aⁿ = (βᵀα)ⁿ⁻¹ A

βᵀα 是一个数，也就是矩阵的迹 tr (A)

这个公式非常简洁，选择题填空题经常直接套用

方法 3 二项式分解法

如果矩阵可以拆成 A = λE + B，并且 B 是幂零矩阵，也就是 Bᵏ=0，k 很小

因为 λE 和 B 是可交换矩阵，就可以使用二项式定理

Aⁿ = (λE+B)ⁿ = Σ C (n,i) λⁿ⁻ⁱ Bⁱ

当 B 的高次幂等于 0，后面项全部消失，计算量大幅降低，适合 Jordan 块类型矩阵

方法 4 数学归纳法

先算出 A¹ A² A³，观察规律，猜想 Aⁿ通项，再用数学归纳法证明

适合低阶特殊矩阵，比如三角矩阵，找递推规律

解法对照表

解法	适用矩阵类型	核心特点
相似对角化	可对角化 n 阶方阵	通用主流，考研高频
秩 1 矩阵公式	r (A)=1 的 n 阶方阵	公式极简，计算快
二项式分解	数量矩阵加幂零矩阵	Jordan 块首选
数学归纳法	低阶特殊矩阵	观察规律猜想通项

重要易错点

1 矩阵乘法不交换，(A+B)ⁿ≠Aⁿ + C (n,1) Aⁿ⁻¹B + …… + Bⁿ，除非 AB=BA

2 Aⁿ 还是 n 阶方阵，阶数不会改变

3 如果矩阵不能对角化，也就是有重特征值但是缺少特征向量，不能使用对角化公式，要用 Jordan 标准形求幂

Jordan 标准形求幂公式 Jⁿ，Jordan 块的幂有专门通项，属于拓展内容

解题操作步骤

1 先观察矩阵结构，判断是不是秩 1 矩阵，是就直接套用秩 1 矩阵公式

2 不是秩 1 矩阵，判断能不能拆成数量矩阵加幂零矩阵，可以就用二项式

3 上面两种都不适用，求特征值特征向量，判断是否可以对角化，使用相似对角化

4 矩阵阶数低，没有特殊结构，计算前几次幂，用数学归纳法推导通项

【常见问题】

问题 1 n 阶矩阵的 n 次方有没有统一万能公式

回答 1 n 阶矩阵的 n 次方没有统一万能公式，只有特殊结构矩阵才有简洁通项，普通矩阵一般使用相似对角化方法计算 n 阶矩阵的 n 次方。

问题 2 秩 1 的 n 阶矩阵的 n 次方公式是什么

回答 1 秩 1 的 n 阶矩阵 A=αβᵀ，n 阶矩阵的 n 次方公式是 Aⁿ=(βᵀα)ⁿ⁻¹A，βᵀα 是一个常数，也就是矩阵 A 的迹，这个是线性代数填空常考公式。

问题 3 n 阶矩阵的 n 次方可以直接用实数二项式展开吗

回答 1 n 阶矩阵的 n 次方不能直接套用实数二项式展开，因为矩阵乘法不满足交换律，只有 A 和 B 可交换，把矩阵拆成 A=λE+B 的时候，才可以对 n 阶矩阵的 n 次方使用二项式展开。

【免责申明】

本内容为线性代数知识点教学整理，按照国内考研线性代数大纲讲解，不同教材符号体系略有差别，做题以教材定义为准。