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大家好，我是小业，我来为大家解答以上问题。全微分基本公式，全微分很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、一、全微分的定义 我们知道，一元函数 在某点 有改变量 时，相应的函数改变量 可以表示成两部分的和。

2、即 其中微分 是 的线性主要部分， 是当 时比 高阶的无穷小. 对于多元函数也有类似的定义，下面先介绍几个概念. 几个概念 设二元函数 在点 的某邻域内有定义。

3、当变量 ， 分别有增量 ， 时。

4、由一元函数微分学中函数增量与微分的关系得 其中， ， 分别称为二元函数对 和对 的偏增量。

5、 ， 分别称为二元函数对 和对 的偏微分. 而把 称为函数 在点 的全增量. 2、全微分的定义 定义1 如果二元函数 在点 的全增量 可以表示为 ， 其中 。

6、 与 ， 无关，只与 。

7、 有关， ， 是当 时比 的高阶无穷小.则称二元函数 在点 可微。

8、并把 叫做函数 在点 的全微分，记作 . 如果函数在某区域内各点处处可微，则称函数在区域内可微. 我们知道。

9、对一元函数来说，可微一定连续，其实。

10、这个结论对二元函数来说一样成立 二、可微的条件 定理1(可微的必要条件) 如果函数 在点 可微分，则函数在该点的偏导数 、 必存在，且函数 在点 的全微分为 ． 证明:因为函数 在点 可微,即 。

11、 其中 与 无关,而仅与 有关, . 特别地, 即 所以 即 同理令 ,得 . 所以 ． 注意，一元函数 在点 可微和在点 可导是等价的，但在多元函数中这结论就不一定成立了。

12、即偏导存在是可微的必要而不充分条件. 例如函数 在原点 的两个偏导都存在,即 , 同理可得 但是 , 而 现考查 是否为零. 特别地取 ,有 即 不是 的高阶无穷小(当 时),所以由全微分的定义,该函数在原点不可微. 那么在什么条件下可保证函数 在点 可微呢? 我们给出如下定理 定理2(可微的充分条件)如果函数 在点 的两个偏导数 、 存在而且连续,则函数在该点可微分. 证明:设点 是点 的某邻域内的任意一点, , 足够小. 则全增量 在 连续,就意味着偏导数在该点的某邻域内一定存在,在第一个方括号内,由于 不变,把 看作 的一元函数,则这个关于 的一元函数在 的某邻域内关于 的导数存在,由拉格朗日中值定理, 存在 ,使得 其中 介于 与 之间. 同理 存在 ,使得 , 其中 介于 与 之间. 又由假设, , 在 连续, 所以 ,即有 其中 同理, ,即有 其中 所以 而 (当 时) 于是 即函数在 可微. 注意：偏导数连续是函数可微的充分而不必要的条件,例如 在原点 可微,但 点却是 , 的间断点.验证略. 通常,我们用 , 来表示 , ,则全微分可以写成 即全微分等于它的两个偏微分之和,我们称二元函数的全微分符合叠加原理. 叠加原理可以推广到三元及其以上的函数.如三元函数 的全微分为 二元函数的连续性、偏导数、全微分之间的关系可以用图7-8表示 例1求 在点 处的全微分. 解:因为 , , 所以 , , 即得 . 例2求 的全微分. 解:因为 , , 所以 . 例3设 ,求 . 解:因为 , , , 所以 . 三、全微分在近似计算中的应用 设函数 在点 可微,则全增量 因此当 , 很小时, ,即 ,我们有如下近似公式 , 或 . 例4一圆柱形的铁罐,内半径为 ,内高为 ,壁厚均为 ,估计制作这个铁罐所需材料的体积大约为多少(包括上、下底)? 解:圆柱体的体积 ,按照题意,该铁罐的体积为 此处 , 都比较小,所以可用全微分近似代替全增量,即 即有 . 故所需材料的体积大约为 .。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。